Ah! ça y est j'ai compris! :
J'avais pensé à la somme mais ne voyais pas comment l'utiliser
n≥2pn\geq 2pn≥2p
2n−2p≥n2n-2p\geq n2n−2p≥n
n−p≥n2n-p\geq \frac{n}{2}n−p≥2n
or (bn-1) négatif, donc (n−p)bn−1≤n2bn−1(n-p)b_{n-1}\leq \frac{n}{2}b_{n-1}(n−p)bn−1≤2nbn−1
Il n'y a plus qu'à conclure!
Je sais pas comment vous remercier, encore une fois votre aide est profitable, merci
marky79310
@marky79310
Meilleurs messages postés par marky79310
Derniers messages publiés par marky79310
-
RE: Suites (Suite négative et encadrement)M
-
RE: Suites (Suite négative et encadrement)
En fait, il faut montrer que si n≥2pn\geq 2pn≥2p alors 2(an−ap)≤nbn−1≤02(a_{n}-a_{p})\leq nb_{n-1}\leq 02(an−ap)≤nbn−1≤0 La borne supérieur ne me pose pas vraiment problème, mais je vois pas comment montrer que 2(an−ap)≤nbn−12(a_{n}-a_{p})\leq nb_{n-1}2(an−ap)≤nbn−1
M -
RE: Suites (Suite négative et encadrement)
Aaah! Merci, vraiment !
Car du coup on a, à p fixé, lim (n-p)=+infinie donc ap+(n-p)bp qui diverge (ap fixe, bp strictement positif) et donc (an) diverge, or (an) bornée d'où contradiction. C'est ça?
Et du coup, une piste pour l'encadrement?, on majore facilement 2(an-ap) par 2ap, mais je ne vois vraiment pas comme faire....M -
RE: Suites (Suite négative et encadrement)
Oui, au temps pour moi....je me suis trompé en recopiant (et pas qu'une fois), c'est bien an≥ap(n−p)bpa_{n}\geq a_{p}(n-p)b_{p}an≥ap(n−p)bp
.....Encore désolé....M -
RE: Suites (Suite négative et encadrement)
Pour information et pour compléter mon premier message, on nous demande de démontrer cette inégalité en commençant par simplifier ∑k=pn−abk\sum_{k=p}^{n-a}{b_{k}}∑k=pn−abk Ce qui fait an-ap (somme télescopique), et puisque bn est croissant, on a:
∑k=pn−1bk≤∑k=pn−1bp\sum_{k=p}^{n-1}{b_{k}}\leq \sum_{k=p}^{n-1}{b_{p}}∑k=pn−1bk≤∑k=pn−1bp
D'ou an−ap≤(n−p)bpa_{n}-a_{p}\leq (n-p)b_{p}an−ap≤(n−p)bp
Mais je ne vois toujours pas comment montrer que bn est négative......M -
Suites (Suite négative et encadrement)
Bonjour, après avoir cherché de longues heures ces deux questions d'un devoir maison, je fais appelle à votre bienveillante aide:
Ce DM porte sur une suite (an), vérifiant deux propriétés: (an) est bornée et ∀n∈n,an+1≤an+an+22\forall n\in n, a_{n+1}\leq \frac{a_{n}+a_{n+2}}{2}∀n∈n,an+1≤2an+an+2
On pose par la suite bn=an+1−anb_{n}=a_{n+1}-a_{n}bn=an+1−an
Les premières questions consistaient à donner le sens de variation de bn, et simplifier et encadrer une somme pour montrer que $a_{n}\leq a_{p}+(n-p)b_{p} :: : (n,p\in n, n>p)$
Là ou je bloque, c'est lorsqu'on peut demande, à l'aide de cette précédente inégalité, de montrer que (bn) est négative.....Car là, j'ai eu beau combiné les différentes inégalités, utiliser le fait que bn est croissante, donner une valeur particulière à p, je n'obtiens rien...la question ne doit pourtant pas demander une grande technicité, elle commence par "en dédiure que".....
Les question suivantes consistent à montrer que an coverge, que du coup bn converge vers 0. On pose ensuite bn=∑k=0nbkb_{n}=\sum_{k=0}^{n}{b_{k}}bn=∑k=0nbk il faut montrer que Bn converge et donner sa limite.
C'est enfin dans la question suivante que la difficulté (pour moi) réapparait : on pose n,p∈n:et:n≥2pn,p\in n : et: n\geq 2pn,p∈n:et:n≥2p il faut montrer que 2(an−ap)≤nbn−12(a_{n}-a_{p})\leq nb_{n-1}2(an−ap)≤nbn−1 Et là encore, je ne vois pas comment faire, j'ai pensé à utiliser une somme (peut-être Bn), de la même manière que l'on a trouvé la première inégalité, mais ça donne pas grand chose...
Merci, par avance, de votre aide.M -
RE: Calcul intégral Encadrement
Oui, désolé, j'ai oublié deux-trois précisions, le "u" et le "U", c'est la même variable, et j'ai oublié de "du". Pour ce qui concerne le x, il appartient à [0,1]. ( au passage, le "n" de la seconde intégrale appartient à N)
M -
Calcul intégral Encadrement
Bonjour, j'ai un DL a rendre (facultatif), mais que j'aimerai bien finir....Mais je sèche sur une partie d'une question, il faut montrer que :
∀y∈[0,1],0≤∫0yun+11+u≤1n+2,n∈n\forall y\in [0,1], 0\leq \int_{0}^{y}{}\frac{u^{n+1}}{1+u}\leq \frac{1}{n+2}, n\in n∀y∈[0,1],0≤∫0y1+uun+1≤n+21,n∈n
J'ai réussi pour la borne inférieur, en montrant que l'intégrande est positive, mais je n'arrive à trouver la borne supérieure, malgré plusieurs tentatives infructueuses...
De même, plus loin dans le devoir, j'ai besoin de montrer que
limn→∞∫0x(−t2)n+11+t2dt=0\lim_{n\rightarrow \infty } \int_{0}^{x}{\frac{(-t^{2})^{n+1}}{1+t^{2}} dt}=0limn→∞∫0x1+t2(−t2)n+1dt=0
Je suppose qu'il faut faire de la même manière, c'est-à-dire encadrer l'intégrale est utiliser un bête théorème des gendarmes, mais je ne vois pas comment l'encadrer.
Des pistes...?
Merci par avance.M -
Convergence à prise d'initiative.
Bonsoir, J'ai un exercice à prise d’initiative à faire, dont voici l'énoncé:
On considère la suite (Un(U_n(Un) définie sur N* par: u1=2u_{1}=\sqrt{2}u1=2; u2=2+2u_{2}=\sqrt{2+\sqrt{2}}u2=2+2; u3=2+2+2u_{3}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}u3=2+2+2 Et ainsi de suite:
un=2+2+...+2u_{n}=\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}un=2+2+...+2 avec n radicaux. Etudier la convergence de la suite (Un(U_n(Un).
J'ai donc voulu exprimer Un+1U_{n+1}Un+1 en fonction de UnU_nUn. J'ai alors remarqué que un+1=2+unu_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}}un+1=2+un. J'ai alors voulu le démontrer par récurrence. J'ai fait mon initialisation sans problème. Et pour l’hérédité, j'ai fait:
un+1=2+unu_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}}un+1=2+un
⇔2+un+1=2+2+un2+u_{n+1}=2+\sqrt{2+u_{n}}2+un+1=2+2+un
⇔2+un+1=2+2+un\sqrt{2+u_{n+1}}=\sqrt{2+\sqrt{2+u_{n}} }2+un+1=2+2+un
⇔un+2=2+un+1u_{n+2}=\sqrt{2+u_{n+1}}un+2=2+un+1
Le problème, c'est que je sais pas si j'ai le droit d'écrire cette dernière ligne. Si ce n'est pas le cas, peut-on démontrer cette propriété par récurrence?
Merci de vos conseils.M