Personne n'a une idée à me donner pour commencer.
J'ai cherché dans un premier temps quels sont les points d'intersection du plan (IJK) avec les arêtes [AE] et [EB] mais je n'y arrive pas.
Pourriez-vous m'aiguiller un peu, s'il vous plaît ?
Merci d'avance
Bien cordialement
Lulu
J'ai de grosses difficultés pour faire un exercice de DM.
Il s'agit de construire la section de la pyramide ABCDE par le plan (IJK) en sachant que :
I appartient à (ABE)
J appartient à (AEC)
K appartient à (CED)
et la droite rouge correspond à l'intersection du plan (IJK) avec le plan de la base (ABCD)
Pourriez-vous me donner une piste pour commencer ma construction, SVP, car j'ai déjà fait des tracés dans tous les sens mais je n'arrive à rien ?
Merci d'avance pour votre aide.
Lulu
Voici mon exercice plus en détail :
1° Démontrer que pour tout n≥1n\geq1n≥1 et pour tout x≥0x\geq0x≥0 , on a : f′<em>n(x)=f</em>n−1(x)f'<em>{n}(x)=f</em>{n-1}(x)f′<em>n(x)=f</em>n−1(x)
J'ai pu faire cette question en dérivant la somme et en la réécrivant.
2° En déduire que pour tout n∈nn \in nn∈n et pour tout x≥0x\geq0x≥0 , on a : fn(x)≥0f_{n}(x)\geq0fn(x)≥0
J'ai réussi cette question, raisonnement par récurrence. J'ai utilisé le sens de variation de la fonction et son minimum.
3° Démontrer que pour tout n∈nn \in nn∈n et pour tout x≥0x\geq0x≥0 , on a : fn(x)≤xn+1(n+1)!×exf_{n}(x)\leq \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\times e^{x}fn(x)≤(n+1)!xn+1×ex
C'est pour cette question que j'ai des difficultés.
Pour le 1° rang, j'ai mené un raisonnement qui m'amène à : f0(x)≤xexf_{0}(x)\leq xe^{x}f0(x)≤xex mais pour x≥1x\geq1x≥1 (non pas x≥0x\geq0x≥0 comme il le faudrait)
Et pour la démonstration de la proposition au rang n, voici ce que j'ai fait :
je suppose vrai au rang n-1, c'est à dire : fn−1(x)≤xnn!exf_{n-1}(x)\leq \frac{x^{n}}{n!}e^{x}fn−1(x)≤n!xnex
⇔ex−∑k=0n−1xkn!≤xnn!exe^{x}-\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{x^{k}}{n!}}\leq \frac{x^{n}}{n!}e^{x}ex−∑k=0n−1n!xk≤n!xnex
⇔ex−∑k=0n−1xkk!−xnn!≤xnn!ex−xnn!e^{x}-\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{x^{k}}{k!}}-\frac{x^{n}}{n!}\leq \frac{x^{n}}{n!}e^{x}-\frac{x^{n}}{n!}ex−∑k=0n−1k!xk−n!xn≤n!xnex−n!xn
⇔fn(x)≤xnn!(ex−1)≤xnn!exf_{n}(x) \leq \frac{x^{n}}{n!}(e^{x}-1)\leq \frac{x^{n}}{n!}e^{x}fn(x)≤n!xn(ex−1)≤n!xnex
et arriver là, je n'arrive pas à passer à fn(x)≤xnn!(ex−1)≤xnn!ex≤xn+1(n+1)!exf_{n}(x) \leq \frac{x^{n}}{n!}(e^{x}-1)\leq \frac{x^{n}}{n!}e^{x}\leq \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^{x} {\color{red} }fn(x)≤n!xn(ex−1)≤n!xnex≤(n+1)!xn+1ex
Il faudrait que xn+1\frac{x}{n+1}n+1x soit supérieur à 1 mais on sait pas le dire
Pourriez-vous me guider un peu dans cette récurrence, s'il vous plaît ?
Merci
lulu
J'ai quelques difficultés pour un DM et je sollicite votre aide, s'il vous plaît.
Voici les données de l'énoncé :
fn(x)=ex−∑k=0nxkk!f_{n}(x)=e^{x}-\sum_{k=0}^{n}{\frac{x^{k}}{k!}}fn(x)=ex−∑k=0nk!xk pour x≥0etnϵnx\geq 0 et n\epsilon nx≥0etnϵn
Et je dois montrer que : fn(x)≤xn+1(n+1)!exf_{n}(x)\leq \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^{x}fn(x)≤(n+1)!xn+1ex pour x≥0etnϵnx\geq 0 et n\epsilon nx≥0etnϵn
Je pense qu'il faut faire une récurrence mais je n'arrive pas à montrer la phase d'initialisation pour n=0.
J'arrive uniquement à montrer que f0(x)≤xexf_{0}(x)\leq xe^{x}f0(x)≤xex pour x≥1x\geq 1x≥1 (au lieu de x≥0x\geq 0x≥0)
f0(x)=ex−1f_{0}(x)=e^{x}-1f0(x)=ex−1 ex−1≤exe^{x}-1\leq e^{x}ex−1≤ex
et on a pour x≥1x\geq 1x≥1 : ex≤xexe^{x}\leq xe^{x}ex≤xex
Et ensuite, je n'arrive à démontrer que fn+1(x)≤xn+2(n+2)!exf_{n+1}(x)\leq \frac{x^{n+2}}{(n+2)!}e^{x}fn+1(x)≤(n+2)!xn+2ex
en sachant que j'ai supposé qu'il existe un n tel que fn(x)≤xn+1(n+1)!exf_{n}(x)\leq \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^{x}fn(x)≤(n+1)!xn+1ex
Pourriez-vous m'aider à avancer un peu s'il vous plaît, en indiquant des pistes de recherche ?
merci d'avance à vous
Lulu
je vous remercie pour votre aide, j'ai corrigé en utilisant la définition des chiffres significatifs et je suis partie de la relation démontrée à la question précédente.
Attendons maintenant la note ...
Encore moi, j'ai des difficultés pour la question suivante :
Supposons que pour un certain n, UnU_nUn soit une valeur approchée de √5 avec un développement décimal contenant au moins k chiffres significatifs corrects, montrer que le développement décimal de Un+1U_{n+1}Un+1 contient au moins 2k chiffres significatifs corrects.
développement décimal contenant au moins k chiffres significatifs corrects : je comprends de UnU_nUn a k chiffres après la virgule correspondant à la valeur de √5
Et donc que UnU_nUn - √5=a x 10−(k−1)10^{-(k-1)}10−(k−1) avec a nombre inférieur à 1
Et je me retrouve avec un 10−2(k−1)10^{-2(k-1)}10−2(k−1) soit 10−(2k−2)10^{-(2k-2)}10−(2k−2)
donc avec un développement décimal de 2k-2 chiffres corrects (au lieu de 2k demandé dans l'énoncé)
Pourriez-vous me dire si ma compréhension de la question est correcte et éventuellement me guider pour m'approcher de la solution, s'il vous plaît ?
Merci à vous
Mille mercis.
J'avais commencé un raisonnement presque identique mais une erreur de calcul au développement du numérateur et de fait, ce numérateur ne se simplifiait pas comme il le devait.
Je fonce me mettre aux dernières questions.
Merci pour votre aide.
Lulu
J'ai un DM à faire sur la méthode de Newton et je bloque à la 7° question qui est la suivante :
Montrer que pour tout n, on a : vn+1≤vn2v_{n+1}\leq v_{n}^{2}vn+1≤vn2
Voici toutes les données que l'on connait : vn=un−5v_{n}=u_{n}-\sqrt{5}vn=un−5
un+1=g(un)u_{n+1}=g(u_{n})un+1=g(un) avec g(x)=x2+52xg(x)=\frac{x^{2}+5}{2x}g(x)=2xx2+5
(g est décroissante sur [0;5]\left[0;\sqrt{5} \right][0;5] et croissante sur $\left[\sqrt{5};+inf[$)
On a montré que pour tout n,
5<un+1<un<3\sqrt{5} \lt u_{n+1} \lt u_{n}\lt 35<un+1<un<3 5\sqrt{5}5 point invariant de la fonction g
La suite unu_{n}un est décroissante, convergente, a pour limite 5\sqrt{5}5
J'essaie de faire une démonstration par récurrence et j'arrive à : vn+1<vn<(un−1−5)2v_{n+1}\lt v_{n}\lt (u_{n-1}-\sqrt{5})^{2}vn+1<vn<(un−1−5)2
Je n'arrive pas à passer de vnv_{n}vn à vn2v_{n}^{2}vn2
Auriez-vous, s'il vous plaît, une piste à me communiquer afin que je puisse débloquer la situation ?