bonjour,
Je souhaiterai un petit coup de main sur un exercice dont voici l'ennoncé et dont j'ai fait une partie:
ABC est un triangle quelconque de centre de gravité G. O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, A' milieu de BC, B' milieu de AC, C' milieu de AB Et le point K défini par la relation
OK= OA+OB+OC (désolée je ne sais pas faire le signe "vecteur")
- Faire une figure sans placer le point K : FAIT
2)Montrer que les vecteurs AK et OA' sont colinéaires. En déduire que (AK) et (BC) sont perpendiculaires. FAIT
AK= 2OA' donc colinéaires
Si AK et OA' sont colinéaires alors ils sont paralleles
Comme (OA') perpendiculaire à (BC) (puique (OA') est une hauteur ) alors (AK) est perpendiculaire à (BC)
3)Qui est alors le point K?
La je sais que K est l'orthocentre à cause du rapport avec la relation d'Euler mais je ne sais pas le démontrer
4° prouver que O est le barycentre du système de points pondérés {(K,-2);(A,1);(B,1);(C,1)}
La j'ai un problème car
G etant le barycentre du triangle ABC il me reste à prouver que O est le barycentre de {(G,3);(K,-2)}
OA+OB+OC=OG+GA+OG+GB+OG+GC
=3OG Comme G est le centre de gravité GA+GB+GC=0
D'après l'énnoncé OK=OA+OB+OC donc
OK=3OG donc 3OG-OK=0
Et la rien ne va plus puisque je trouve O barycentre du système {(G,3);(K,-1)} et pas (K,-2)
- En déduire que les points O,G et K sont alignés et préciser la position relative des trois points ?
Comme OK+3OG les deux vecteurs sont colinéaires donc les trois points O,K et G sont alignés et OG=1/3OK