Bonsoir,
Joyeux noel
1)a) EM.EL = (EA + AM).(EA + AL)
= EA.EA + EA.AL + AM.EA + AM.AL
= 1 + 0 + 0 + 0
= 1
b) EM.EL = EM x EL x cos(EM ; EL)
or en appliquant le theoreme de Pythagore dans le triangle EAM rectangle en A on aura : EM2EM^2EM2 = EA2EA^2EA2 + AM2AM^2AM2 = 1 + a2a^2a2
de meme en appliquant le theoreme de Pythagore dans le triangle EAL rectangle en A on aura : EL2EL^2EL2 = EA2EA^2EA2 + AL2AL^2AL2 = 1 + a2a^2a2
Comme EM.EL = EM x EL x cos(EM ; EL)
donc 1 = (1 + a2a^2a2)(1 + a2a^2a2).cos(MEL)
Par suite cos(MEL) = 1/(1 + aaa^2)2)^2)2
c) comme cos2cos^2cos2(MEL) + sin2sin^2sin2(MEL) = 1
donc sin2sin^2sin2(MEL) = 1 - 1/(1 + aaa^2)2)^2)2 = (a4(a^4(a4 + 2a22a^22a2 + 1 - 1)/(1 + aaa^2)2)^2)2 = (a4(a^4(a4 + 2a22a^22a2)/(1 + aaa^2)2)^2)2
alors sin(MEL) = rad [(a4[(a^4[(a4 + 2a22a^22a2)/(1 + aaa^2)2)^2)2] = a.rad[a2rad[a^2rad[a2 + 2] / (1 + a2a^2a2)
d) l'aire du triangle ELM = produit vectoriel de EM avec EL = EM . EL .sin(MEL) = (1 + a2a^2a2).(1 + a2a^2a2). a.rad[a2rad[a^2rad[a2 + 2] / (1 + a2a^2a2) = a(1 + a2a^2a2).rad[a2rad[a^2rad[a2 + 2] unite d'aire
e) Pour demontrer que la droite (AK) est orthogonale au plan (ELM)
il suffit de demontrer que la droite (AK) est orthogonale a (EM) et a (EL)
en effet : AK.EM = (AC + CK).(EA + AM)
= AC.EA + AC.AM + CK.EA + CK.AM
= 0 + rad(2).a.rad(2)/2 + a.1.(-1) + 0 = 0
donc (AK) est orthogonale a (EM)
de meme AK.EL = (AC + CK).(EA + AL)
= AC.EA + AC.AL + CK.EA + CK.AL
= 0 + rad(2).a.rad(2)/2 + a.1.(-1) + 0 = 0
donc (AK) est orthogonale a (EM)
par suite la droite (AK) est orthogonale au plan (ELM)
2)a) AM.AK = (AP + PM).AK = AP.AK + PM.AK = AP.AK car (PM) est prthogonale a (AK) (par hypothese)
b) On a AM.AK = AP.AK
or AM.AK = AM.(AB + BG + GK)
= AM.AB + AM.BG + AM.GK
= a.1.1 + 0 + 0 = a
comme AM.AK = AP.AK
donc AP.AK = a
alpha .(AK)2(AK)^2(AK)2 = a
alpha = a / (AK)2(AK)^2(AK)2
or AK2AK^2AK2 = AB2AB^2AB2 + BK2BK^2BK2
avec BK2BK^2BK2 = a2a^2a2 + 1 (theoreme de Pythagore dans le triangle BCK rectangle en C)
donc AK2AK^2AK2 = 1 + a2a^2a2 + 1
= a2a^2a2 + 2
d'ou alpha = a / (AK)2(AK)^2(AK)2
= a /a2/a^2/a2 + 2
comme 0 < a /a2/a^2/a2 + 2 < 1 et AP = (alpha) x AK
donc P appartient au segment [AK].
c) AP = alpha AK
= alpha (AD + DC + CK)
= alpha(AD + AB + a.AE)
donc P(alpha ; alpha ; a.alpha) ou encore P(a / (a2(a^2(a2 + 2) ; a / (a2(a^2(a2 + 2) ; a2a^2a2 / (a2(a^2(a2 + 2))
d) PK = PA + AK = -alpha AK + AK = (1 - alpha)AK (egalite vectorielle)
donc PK = (1 - alpha)AK (egalite scaalaire en tant que segment)
PK = (1 - a / (a2(a^2(a2 + 2)) . rad(a2rad(a^2rad(a2 + 2)
= ((a2((a^2((a2 - a + 2) / (a2(a^2(a2 + 2)) . rad(a2rad(a^2rad(a2 + 2)
= ((a2((a^2((a2 - a + 2).rad(a2rad(a^2rad(a2 + 2))
- Le volume du tétraèdre ELMK = aire du triangle (ELM) . PK
= a(1 + a2a^2a2).rad[a2rad[a^2rad[a2 + 2].((a2((a^2((a2 - a + 2).rad(a2rad(a^2rad(a2 + 2)) unite de volume
A bientot !!
Joyeux noel