∫∫∫r2dxdydz\int\int\int r^2 dxdydz∫∫∫r2dxdydz avec x≥0,y≥,z≥0,x+y+z≤1x\ge0, y\ge, z \ge0, x+y+z\le1x≥0,y≥,z≥0,x+y+z≤1
on intègre sur le volume du tétraèdre de sommet O ayant pour arêtes les 3 vecteurs i, j, k du repère
quand on fixe z avec la première intégrale, il reste la contrainte : x+y≤1−zx + y \le 1-zx+y≤1−z
car on intègre sur le triangle parallèle au plan xOy
∫01dz∫∫r2dydx\int_0^1 dz \int\int r^2 dydx∫01dz∫∫r2dydx avec x≥0,y≥,x+y≤1−zx\ge0, y\ge, x+y \le 1-zx≥0,y≥,x+y≤1−z
quand on fixe y avec la deuxième intégrale, y varie de 0 à 1-z
il reste la contrainte pour x : x≤1−z−yx \le 1-z-yx≤1−z−y
∫01dz∫01−zdy∫r2dx\int_0^1 dz \int_0^{1-z} dy \int r^2 dx∫01dz∫01−zdy∫r2dx avec x qui varie de 0 à 1-z-y
car on intègre sur le segment parallèle à Ox
soit ∫01dz∫01−zdy∫01−z−yr2dx\int_0^1 dz \int_0^{1-z} dy \int_0^{1-z-y} r^2 dx∫01dz∫01−zdy∫01−z−yr2dx
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