Bonjour,
Je suis actuellement coincée sur un exercice de mon DM de maths. J'ai fait les premières questions, mais je ne parviens pas à continuer... Par conséquent, j'aurais besoin d'un peu d'aide.
Voici mon DM :
- Le nombre d'or "phi" est la solution positive de l'équation x²-x-1=0
Démontrer sans calculer phi, que phi=1+1phiphi= 1 + \frac{1}{phi}phi=1+phi1
et phi > 1
J'ai réussi cette question
- a est la suite définie par a0=1a_{0}=1a0=1
et an+1=1+1ana_{n+1}= 1+ \frac{1}{a_{n}}an+1=1+an1
a) Conjecturer la limite et le sens de variation de a
b)Montrer que pour tout entier n non nul, 32≤an≤2\frac{3}{2}\leq a_{n}\leq 223≤an≤2
Je l'ai démontré par récurrence
c) Montrer en utilisant phi≥1, que pour tout entier naturel non nul, abs(an+1−φ)≤23abs(an−φ)abs(a_{n+1}-\varphi )\leq \frac{2}{3} abs(a_{n}-\varphi )abs(an+1−φ)≤32abs(an−φ)
je suis bloquée ici, je ne sais pas vraiment ce que j'ai le droit de faire avec la valeur absolue, si j'ai le droit de calculer phi, si je dois utiliser un raisonnement par récurrence ou non
d) En déduire par récurrence que pour tout entier naturel non nul n, ∣an−φ∣≤23n−1∣a1−φ∣\left|a_{n}- \varphi \right| \leq \frac{2}{3}^{n-1}\left|a1- \varphi \right|∣an−φ∣≤32n−1∣a1−φ∣
je n'ai pas trop compris comment en venir là, j'imagine qu'il faut utlisier la question précédente...
e) Déterminer la limite de la suite a et déterminer un nombre entier naturel p tel que dès que n≥p on a ∣an−φ∣≤10−6\left|a_{n}- \varphi \right|\leq 10^{-6}∣an−φ∣≤10−6
Voilà la première partie de mon exercice. En espérant avoir été claire.
Merci d'avance !