Merci beaucoup raycage !
C'était si simple !
Comme tu me le demande, je vais préciser le but de tout ça.
Premièrement, ce que j'entends par "compléter les carré" et de transformer l'expression d'une forme quadratique en somme de carrés (avec eventuellement un coefficient constant).
Ici on n'y arrive donc car on part de
q(u)=x2+2xy+2xz+2xt+y2+6yw−2yt+z2+10zt+t2q(u)=x^2+2xy+2xz+2xt+y^2+6yw-2yt+z^2+10zt+t^2q(u)=x2+2xy+2xz+2xt+y2+6yw−2yt+z2+10zt+t2
pour arriver finalement à
$q(u)= (x+y+z+t)^2+4yw-4yt+8zt \= (x+y+z+t)^2+(y+z+t)^2-(y-z+3t)^2+8t^2$
Ensuite, l'algorithme de Gauss propose de suivre les étapes suivantes :
On pose
u=( 1amp;1amp;1amp;1 0amp;1amp;1amp;1 0amp;1amp;−1amp;3 0amp;0amp;0amp;1)u=\left(\begin{array}{cccc} \ 1 & 1 & 1 & 1\ \ 0 & 1 & 1 & 1\ \ 0 & 1 & -1 & 3\ \ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)u=( 1amp;1amp;1amp;1 0amp;1amp;1amp;1 0amp;1amp;−1amp;3 0amp;0amp;0amp;1)
la matrice des coeficients devant chaque variable (à l'interrieur des carrés).
Si uuu n'est pas inversible, on la complète en une matrice inversible qqq.
Ici, uuu est inversible, on a donc q=uq=uq=u.
On calcule alors la matrice inverse de qqq:
p:=q−1=( 1amp;−1amp;0amp;0 0amp;1/2amp;1/2amp;−2 0amp;1/2amp;−1/2amp;1 0amp;0amp;0amp;1)p:=q^{-1}=\left(\begin{array}{cccc} \ 1 & -1 & 0 & 0\ \ 0 & 1/2 & 1/2 & -2\ \ 0 & 1/2 & -1/2 & 1\ \ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)p:=q−1=( 1amp;−1amp;0amp;0 0amp;1/2amp;1/2amp;−2 0amp;1/2amp;−1/2amp;1 0amp;0amp;0amp;1)
Et il se trouve que les colonnes de cette matrice forment les vecteurs d'une base q-orthogonale vvv.
La matrice représentative de qqq dans la base vvv est alors donnée par la matrice diagonale formée par les coeficients devant chaque carré de la forme qqq (dont on a précédement "complété les carrés"), c'est a dire ici :
mat(q,v)=( 1amp;0amp;0amp;0 0amp;1amp;0amp;0 0amp;0amp;−1amp;0 0amp;0amp;0amp;8)mat(q,v)=\left(\begin{array}{cccc} \ 1 & 0 & 0 & 0\ \ 0 & 1 & 0 & 0\ \ 0 & 0 & -1 & 0\ \ 0 & 0 & 0 & 8\end{array}\right)mat(q,v)=( 1amp;0amp;0amp;0 0amp;1amp;0amp;0 0amp;0amp;−1amp;0 0amp;0amp;0amp;8)
Voili, voilou. Ca répond à ta demande de précision ?
Il est clair que cet algorithme est très puissant !
Comme je l'ai mentionné, je ne connais pas la démonstration, je ne l'ai donc pas "compris". Mais je comprend son utilité .
Si quelqu'un peut le démontrer je suis preneur. Même si je ne peu pas garantir que je comprendrai du premier coup.