Lorsque je fais l'intégration par parties je suis bloquée car je me retrouve avec un autre intégrale qui semble elle aussi nécessiter une autre intégration par parties et ainsi de suite...
Pepsylily
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RE: Exercice sur les intégrales et les suitesP
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RE: Exercice sur les intégrales et les suites
Re-bonjour,
alors j'ai réussi la première question ( a) b) c) ). J'ai trouvé f'(x)=(exp(1-x) - 2xexp(1-x) )/ 2√x. f'(x) est positive sur ]0;1/2[ et négative sur ]1/2;+∞[ donc f est croissante sur ]0;1/2[ et décroissante sur ]1/2;+∞[. f>0 pour tout x de [0;+∞[ (d'après le tableau de variations complet 0 est le minimum)
Je suis arrivée à la 2) b) mais je ne sais pas comment faire. Est-ce que je dois d'abord faire une intégration par parties pour avoir une expression de Un ?
P -
RE: Exercice sur les intégrales et les suites
oui mais 0*0 est une FI. Enfin d'après mon cours. Ah non ! cest 0/0 qui est une FI. Excusez-moi. Je vais donc continuer avec la première méthode. Je vous le signale si je rencontre un autre problème, merci.
P -
RE: Exercice sur les intégrales et les suites
Je suis d'accord avec vous lim : expx/x = +∞ quand x tend vers +∞ mais ici il s'agit de x/exp x donc ca tend, non plus vers l'infini, mais 0, non ?
du coup on a 0 multiplié par linfini (FI).P -
Exercice sur les intégrales et les suites
Bonjour,
j'ai un exercice à faire à la maison et je bloque un peu (non, en fait, pas qu'un peu). Je ne ne vois pas comment répondre à la première question; j'ai essayé plusieurs méthodes mais j'arrive toujours à une forme indéterminée.
Voici
l'énoncé: Soit f la fonction définie sur [0;+∞[ par f(x)=√(x)*exp(1-x)1)a) Déterminer la limite de la fonction f en +∞ (on pourra exploiter l'écriture pour tout x>0, f(x)= (e/√x)*(x/expx)
Au début j'ai assayé d'utiliser la forme directement donnée entre parenthèses mais j'obtiens une FI de produit (00). Alors j'ai essayé de la remanier en simplifiant par √x mais cette fois-ci je tombe sur une FI de quotient (∞/∞). Finalement, j'ai abandonné la forme censée aider pour me concentrer sur la forme donnée par l'énoncé en y allant par étapes: d'abord déterminer la limite de l'exponentielle, puis celle du produit sous la racine et enfin de la racine en effectuant à chaque fois des changements de variables. Mais en voulant calculer la limtie du produit sous la racine je suis bloquée par une FI de produit (o∞). Comment dois-je procéder ?
b) Calculer f'(x) pour x>0. En déduire les variations de f sur [0;+∞[.
c) Déterminer le signe de f sur [0;+∞[-
On considère la suite (Un) définie pour tout entier naturel n non nul par Un=∫nn+1f(t)dt\int_{n}^{n+1}{f(t)dt}∫nn+1f(t)dt
a) Interpréter géométriquement Un
b) Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, f(n+1)≤Un≤f(n)
c) En déduire que (Un) est décroissante
d) Prouver la convergence de la suite (Un) et déterminer sa limite -
On considère la fonction numérique F de la variable x définie sur [1;+∞[ par F(x)=∫1xf(t)dt\int_{1}^{x}{f(t)dt}∫1xf(t)dt
a) Montrer que F est dérivable sur [1;+∞[ et calculer F(x)
b) En déduire les variations de la fonction F
c) Démontrer que pour tout t>0, on a l'intégralité t+2≥2√2√t
En déduire que pour tout x≥1, F(x)≤(1/2√2)∫1x(t+2)exp(1−t)dt\int_{1}^{x}{(t+2)\exp(1-t)dt}∫1x(t+2)exp(1−t)dt
d) A l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout x≥1,
∫1x(t+2)exp(1−t)dt\int_{1}^{x}{(t+2)\exp(1-t)dt}∫1x(t+2)exp(1−t)dt=4-(x+3)exp(1-x)
e) En déduire que pour tout x≥1, 0≤F(x)≤√2 -
On note pour tout entier naturel n non nul, Sn la somme des n+1 premiers termes de la suite (Un). Exprimer Sn à l'aide d'une intégrale. Montrer que la suite (Sn) converge et encadrer sa limite.
En vous remerçiant de votre aide,
Pepsylily
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RE: Exercice sur feuille: logarithmes népériens
Comme il ne faut démontrer qu'une conjecture sur les trois, j'ai choisi de démontrer qu'il n'ya qu'un seul point d'intersection si alpha=7/4.
J'ai donc remplacé alpha apr 7/4 dans l'équation f(x) - alpha*x = 0
J'ai obtenu un trinôme de logarithme, j'ai changé la variable lnx en X et j'ai trouvé un delta égal à 0. Donc il n'ya qu'une solution, donc il ny'a qu'un point d'intersection.Mais par curiosité, comment aurais-je fait pour démontrer qu'il n'yen a pas si x<7/4 et qu'il y en a deux si x>7/4 ?
P -
RE: Exercice sur feuille: logarithmes népériens
Ok. Donc mes deux abscisses de points d'intersection sont e et √e.
Au sujet de la question 3)b), j'ai fait une conjecture mais je ne suis pas sûre: avec ma caculatrice graph j'ai cherché à partir de quel valeur de x on a deux points d'intersection et non plus 0 (pour x<7/4 j'ai vu que la fonction est toujours positive donc au dessus de l'axe des abscisses). Il semble que ce soit environ 1.65 soit 7/4. Mais je n'en suis pas sûre car ce n'est pas très précis.
Pour le prouver, que dois-je faire ? Dois-je remplacer alpha par 7/4 et voir si j'obtiens 1 point d'intersection (ce sera déjà ça) ? Mais comment puis-je faire pour prouver, après, que toutes les valeurs au dessus de 7/4 font qu'il y a deux points d'intersection ? J'ai une vague idée de théorème des valeurs intermédiaires mais bon.
P -
RE: Exercice sur feuille: logarithmes népériens
Bonjour, apparemment, le D(2) à la question a) ne serait pas une erreur d'impression/écriture, mais on demanderait de remplacer alpha par 2.
j'ai donc fait f(x) - 2x=0 soit 2x[2(lnx)² -3ln(x) + 2] - 2x=0 et j'ai obtenu en factorisant par 2x l'équation 2x[2(lnx)² -3lnx + 1]= 0 ce qui équivaut à 2x=0 ou 2(lnx)² -3ln(x) + 1=0.
Pour 2x=0, x=0
Pour l'autre équation j'ai fait un changement de variable: X=ln(x) du coup j'ai l'équation 2X² -3X + 1 à résoudre.
Delta est positif donc deux solutions dans R qui sont X=1 et X=1/2.
X=1 ssi lnx=1 donc ssi x=e.
X=2 ssi lnx=1/2 ssi x=√e.Donc je serais tentée de dire qu'il ya trois points d'intersection mais la question me dit qu'il n'y en a que deux... Ai-je fait une erreur quelque part ?
P -
RE: Exercice sur feuille: logarithmes népériens
Bon, après avoir refait tous les calculs, j'ai enfin trouvé la bonne dérivée qui est: 2a(lnx)² + 2ln(x) + 2c + 4aln(x) + 2b.
J'ai donc trouvé les vraies équations du système à trois inconnues:
-a+c=0
(5/2)a+3b+2c=0
3a+2b+c=2
Et pour finir, j'ai trouvé a, b et c et je sais qu'ils sont justes car ils sont ceux que je devais trouver: a=c=2 et b=-3.
Pour les autres questions, je pense qu'elles étaient justes car plutôt cohérentes.
J'aimerais par contre avoir votre avis sur la question 3)a) car je trouvais des abscisses de points d'intersection bizarres... D'autre part, je ne comprends la question 3)b) qui parle d'"éléments".P -
RE: Exercice sur feuille: logarithmes népériens
Merci, ce soir, je m'y remets et je vais essayer de trouver la troisième équation et de résoudre le système afin de trouver les coeff qu'il faut. Je vous communique mes résultats lorsque j'ai fini.
Je viens de m'apercevoir d'une erreur que vous ne m'avez pas signalée (peut-être ne l'avez-vous pas vue): ma fonction est un produit u(x)v(x) donc la dérivée est u'(x)v(x) + u(x)v'(x) et non pas u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v(x)2\frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}v(x)2u′(x)v(x)−u(x)v′(x). Je vais tout refaire.
P