Bonjour ! J'aurai besoin d'aide pour mon execice qui est le suivant :
On considère les matrices A = −1amp;0amp;0 −8amp;0amp;−8 9amp;0amp;8\begin{matrix} -1 &0 &0 \ -8 & 0 &-8 \ 9 & 0 & 8 \end{matrix}−1amp;0amp;0 −8amp;0amp;−8 9amp;0amp;8, P=(1amp;0amp;0 0amp;1amp;−1 −1amp;0amp;1)\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \ 0 &1 &-1 \ -1 & 0& 1 \end{pmatrix}(1amp;0amp;0 0amp;1amp;−1 −1amp;0amp;1) et Q=(1amp;0amp;0 1amp;1amp;1 1amp;0amp;1)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\ 1 & 1 &1 \ 1 &0 &1 \end{pmatrix}(1amp;0amp;0 1amp;1amp;1 1amp;0amp;1).
- Vérifier que les matrices P et Q sont inverses l'une de l'autre. C'est Ok.
- On définit la matrice B=Q×A×P. Calculer B et exprimer BnB^nBn en fonction de n.
J'ai trouvé B=(−1amp;0amp;0 0amp;0amp;0 0amp;0amp;8)\begin{pmatrix} -1 &0 &0 \ 0 & 0 & 0\ 0& 0 & 8 \end{pmatrix}(−1amp;0amp;0 0amp;0amp;0 0amp;0amp;8). Est ce que BnB^nBn=(−1namp;0amp;0 0amp;0amp;0 0amp;0amp;8n)\begin{pmatrix} -1^{n} & 0 &0 \ 0& 0 &0 \ 0 & 0 &8^{n} \end{pmatrix}(−1namp;0amp;0 0amp;0amp;0 0amp;0amp;8n) ?
3)a) Montrer que pour tout entier naturel n : AnA^nAn=P×BnB^nBn×Q.
J'ai fait : B=Q×A×P donc A=P−1A=P^{-1}A=P−1×B×Q−1Q^{-1}Q−1
or P×Q=I avec P−1P^{-1}P−1=Q et Q×P=I avec Q−1Q^{-1}Q−1=P. Donc A=P×B×Q.
Et là je sais pas comment continuer :$
3)b) Calculer AnA^nAn pour tout entier naturel n. J'ai trouvé : (−1namp;0amp;0 8namp;0amp;8n 9namp;0amp;8n)\begin{pmatrix} -1^{n} & 0 & 0\ 8^{n} & 0 &8^{n} \ 9^{n} & 0 &8^{n} \end{pmatrix}(−1namp;0amp;0 8namp;0amp;8n 9namp;0amp;8n)
Voilà