Bonjour !
Si je résume tout, cela donne :
Partie 1 :
1°/Puisque les rectangles doivent être semblables, leurs côtés doivent être proportionnels.
La longueur du rectangle initial est L et la largeur est l.
La longueur du rectangle final est l et la largeur est L - l.
Donc, on en déduit que L / l = l / (L - l).
- FIGURE
2°/
a. Puisque Φ = L / l , 1 < \phi car la longueur L est divisée par la largeur l et que L > l.
L / l = l / L – l
L / l * (L – l) = l
Là, je ne vois pas comment avancer. Si je divise par l, cela me donne :
L² - l = l.
Mais vous m’avez dit que ce n’est pas ça.
b. 1 < Φ
1 < (1 + V5) / 2
2 < 1 + V5
1 < V5
1 < 5
(1 + V5) / 2 est bien solution de cette inéquation car 1 < 5.
Φ < 2
(1 + V5) / 2 < 2
1 + V5 < 4
V5 < 3
5 < 9
[(1 + V5) / 2]² = (1 + V5) / 2 + 1
(6 + 2V5) / 4 = (3 + V5) / 2
(3 + V5) / 2 = (3 + V5) / 2
(1 + V5) / 2 est bien solution de cette inéquation car (3 + V5) / 2 = (3 + V5) / 2.
c. Φ est une solution.
Φ² = Φ + 1
(1 - Φ)² = 1 - Φ + 1
1² - 2Φ + Φ² = 2 - Φ
1 - 2Φ + Φ² = 2 -Φ
-2Φ + Φ² = 1 - Φ
Φ² = 1 + Φ
1 – Φ est une solution car on retombe sur l’expression de départ.
Faut-il une autre justification ?
Plus haut, nous avons prouvé que 1 < Φ. 1 – Φ ne peut pas être solution car ce nombre est inférieur à 1.
Φ est donc le seul qui vérifie l’expression.
d. Puisque (1 + V5) / 2 est solutions des deux relations et puisque Φ est donc le seul qui vérifie l’expression, on en déduit que Φ = (1 + V5) / 2.
Partie 2 :
1°/Puisque H est le milieu de [FG] et que FG = 1, HG = 0,5.
Puisque J est le symétrique de H par rapport à G, HJ = 2HG = 1.
On sait que :
- HJK est rectangle en J
Or, d'après Pythagore, HK² = HJ² + JK²
HK² = 1² + 0,5²
HK² = 1 + 0,25
HK = V1,25
HK = V5 / V4
HK = V5 / 2.
HK mesure donc V5 / 2.
2°/J’ai vérifié : il n’y a pas d’erreur d’énoncé. Peut-être que I est confondu avec G. Mais dans ce cas, FI serait égal à 1.