Salut,
Nanouf59
Dans mon cours de 1ereS la somme des termes est égale a (n+1)* ((u((u((u_0+Un+U_n+Un)/2) et je vois qu'ici la formule et differente et je la cherche partout mais je ne comprend pas du tout ...
Ton cours de 1ère dit vrai . . . et la formule ici aussi. Mais alors quépassa ?
Il faut apprendre 2 trucs et sous cette forme :
1] UpU_pUp + Up+1U_{p+1}Up+1 + . . . + UnU_nUn Le nombre de termes = n-p+1
2] La somme des n premiers termes d’une suite arithmétique est :
S = nombre de termes x (1er terme + dernier terme)/2
Et puis c’est tout ! C'est ça qui est cool en math, t'apprends 2 trucs et tu survis tout un trimestre. Mais il faut adapter à chaque cas.
3 exemples, toujours pour une suite arith et ce sera clair :
1er terme U0U_0U0
S : somme des n premiers termes
S = U0U_0U0 + U1U_1U1 + . . . + Un−1U_{n-1}Un−1
ben oui ! nombre de termes = (n-1)-0+1 = n
Donc S = nombre de termes x (1er terme + dernier terme)/2 = n x (U0(U_0(U0 + Un−1U_{n-1}Un−1)/2
--> C’est le cas de l’exo ici.
1er terme U1U_1U1
S : somme des n premiers termes
S = U1U_1U1 + U2U_2U2 . . . + UnU_nUn
nombre de termes = n-1+1 = n
Donc S = nombre de termes x (1er terme + dernier terme)/2 = n x (U1(U_1(U1 + UnU_nUn)/2
--> Ce n’est ni le cas de l’exo, ni celui de ton cours
1er terme, on revient à U0U_0U0
S : somme des n+1 premiers termes
S = U0U_0U0 + U1U_1U1 + . . . + Un−1U_{n-1}Un−1 + UnU_nUn
nombre de termes = n-0+1 = n+1
Donc S = nombre de termes x (1er terme + dernier terme)/2 = (n+1) x (U0(U_0(U0 + UnU_nUn)/2
--> C’est la drôle de formule de ton cours.
Mais ton/ta prof a dû aussi donner la formule générale, non ? Un truc du genre :
$S_{p->n}$ = (n-p+1) x (Up(U_p(Up + UnU_nUn)/2
Ca y est, je vois que tu as tout compris !
Nanouf59
Et la relation de recurence je l'ai comprise mais je ne comprend pas le calcul.
Pouvez vous m'expliquer s'il vous plait...
La réponse de babgeo est pourtant très détaillée, mais je me permets de pomper sa réponse et de compléter les quelques lignes qu’il te manque peu-être pour piger et j’insère les compléments de babgeo et de Noémi au bon endroit :
babgeo
- Hérédité
Supposons que pour un entier naturel n donné, UnU_nUn = 4n² + 12n + 5
Par définition : unu_nun = [1+ (2/n)]Un−1(2/n)]U_{n-1}(2/n)]Un−1 + [6/n]
Alors :
un+1u_{n+1}un+1 = [1+ (2/(n+1))]Un(2/(n+1))]U_n(2/(n+1))]Un + [6/(n+1)]
un+1u_{n+1}un+1 = [(n+1)/(n+1)]Un[(n+1)/(n+1)]U_n[(n+1)/(n+1)]Un + [6/(n+1)]
un+1u_{n+1}un+1 = [(n+1)/(n+1)][ 4n²+12n+5] + [6/(n+1)] en remplaçant UnU_nUn par 4n² + 12n + 5
un+1u_{n+1}un+1 = (4n3(4n^3(4n3+24n²+41n+21) / (n+1)
On constate que -1 est racine du numérateur (suffit d’un oeil bionique).
**En effet :
Pour n=-1, 4n34n^34n3+24n²+41n+21 = 4(−1)34(-1)^34(−1)3+24(-1)²+41(-1)+21 = -4+24-41+21 = 0
On peut donc factoriser ce numérateur par (n+1) : Voir cours polynôme 1èreS.
-1 est racine du numérateur, il existe donc trois réels a, b et c tq :
4n34n^34n3+24n²+41n+21 = (n+1)(an²+bn+c)
Tu développes et réduis :
4n34n^34n3+24n²+41n+21 = an3an^3an3+(a+b)n²+(b+c)n+c
Par identification, on obtient :
A= 4 ; c=21 et b=20 et 4n34n^34n3+24n²+41n+21 = (n+1)(4n²+20n+21)**
On reprend notre calcul du rang n+1 :
un+1 = [(n+1)(4n²+20n+21)] / [n+1]
un+1 = 4n²+20n+21
**Là on est au bout. Mais ce n’est pas tout à fait ça que l’on veut, on a besoin de montrer que :
un+1 = 4(n+1)² + 12 (n+1) + 5
Alors on va montrer que 4(n+1)² + 12 (n+1) + 5 et 4n² + 20n + 21 c’est kif kif en faisant un simple calcul :**
Or 4(n+1)² + 12 (n+1) + 5 = 4n² + 20n + 21
On a donc bien Un+1U_{n+1}Un+1 = 4(n+1)² + 12 (n+1) + 5 et la proposition (Pn) est vraie pour n+1.
Conclusion :
(Pn) est vraie pour n=0
De plus, si elle est vraie pour un naturel n donné, alors elle est vraie pour n+1.
Donc, (Pn) est vraie pour tout entier naturel n
Et bien voilà ... Tout s'éclaire.